El mundo de las fórmulas de Freestetter: La cantidad más simple del mundo.
Difícilmente existe una aritmética más sencilla que 1+1. O 1-1. Pero si ambos se unen y el infinito también está involucrado, el asunto puede volverse no sólo insoluble sino también muy confuso.
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Es muy fácil calcular el importe total. Pero el infinito es un obstáculo para el proceso.
Luigi Guido Grandi fue un monje, teólogo y filósofo italiano que también estaba interesado en las matemáticas. En el siglo XVIII trabajó en esta serie, entre otras:
El lado derecho de la fórmula está intencionalmente vacío porque no es fácil encontrar una solución. Aunque a primera vista no lo parece: Grande simplemente sumaba y restaba el número 1 alternativamente. Se escribe la suma de 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…. Se comienza con 1 y se le resta 1. Luego se suma 1 nuevamente y se resta nuevamente. Y así sucesivamente, para que puedas hacerte una idea de que la suma debe ser cero. Puedes explicar esto matemáticamente colocando los paréntesis: (1-1)+(1-1)+(1-1)+…. Pero también puedes colocar los paréntesis de otra manera, es decir, de la siguiente manera: 1+(- 1 ) +1)+ (-1+1)+… Esto indica que la suma es igual a 1.
Por eso, el propio Grande asignó un valor de ½ a la suma y vio en la serie la prueba de que Dios fue capaz de crear el mundo de la nada. Si se ignora esta relación cuestionable entre religión y matemáticas, todavía se tiene la posición paradójica de que el valor de una suma parece depender del orden en que se evalúa. También puedes deducir matemáticamente el valor de grande ½. Para hacer esto, primero denota el valor desconocido de la suma como sentonces escribe s = 1-1+1-1+… Esto resulta en -1s = 1-(1-1+1-1+…) = 1-1+1-1+… = s o s=½.
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Las sumas y restas simples del número 1 oscurecen el problema real. Serie Contraste Grande. Esto significa que la secuencia (infinita) de sumas parciales no se acerca a ningún límite y, por tanto, no se le puede asignar ninguna suma.
¿Cómo se calcula el final de una serie divergente?
Para poder analizar esta serie dispar, a lo largo del tiempo se desarrollaron varios métodos mediante los cuales las ideas de Grandi y sus contemporáneos podían ubicarse sobre una base matemática precisa. Por ejemplo, en el siglo XIX, el italiano Ernesto Cesaro desarrolló lo que hoy se llama el conjunto Cesaro en su honor. Para hacer esto, primero crea las subsumas de la cadena, en el gran ejemplo de la secuencia (1,0,1,0,…). Usando estas sumas parciales, ahora puedes crear la primera media aritmética norte Importes parciales. a norte=1 es 1,l norte=2 es el promedio ½ (hay 1+0⁄2=½), l norte=3 Obtienes el promedio 1+0+1⁄3=⅔etc. Esta secuencia converge al límite ½. Si este límite existe, se llama suma Cesaro.
Métodos similares al de Cesaro son ciertamente útiles en matemáticas. Aunque la serie de Grandi tiene su origen en las ideas de un teólogo italiano, aparece en una amplia gama de campos. Se puede encontrar tanto en el análisis de Fourier como en la topología. También se pueden encontrar en muchos problemas de física de partículas, por ejemplo en campos cuánticos con valores propios positivos y negativos.
Pero a pesar de los rigurosos métodos actuales para tratar matemáticamente tales series, persiste un poco de inquietud. Son sólo algunos de ellos. ¿Cómo podría convertirse esto en un problema? A lo largo de la historia, grandes matemáticos como Leibniz y Euler se han ocupado de ello y han debatido cómo interpretar las series. Los humanos simplemente no fuimos creados para el infinito, incluso si parece una secuencia inofensiva del infinito.
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