En Infinity hay que despedirse del mito de las matemáticas

en una columna anterior Te desafió a encontrar el número natural más grande posible. Con la palabra “por supuesto” descarté que simplemente respondiste con la palabra “infinito” y así explotó el juego. Pero incluso si permite valores infinitamente grandes como regla, esto puede causar problemas. Por ejemplo, ¿qué pasaría si alguien más agregara “infinito más uno”, “infinito al cuadrado” o “infinito elevado a infinito”? En este caso, ¿quién ganó el “juego de los grandes números”?

nadie. Porque “infinito” no es un número ordinario que sigue las reglas habituales de la aritmética. La recta numérica es infinitamente larga, sin importar si comienzas en infinito negativo, cero o uno. Por lo tanto, una declaración como “infinito más uno” no tiene sentido. Además, hay diferencias incluso con valores infinitos: resulta que infinito no siempre es igual a infinito. Así que simplemente decir “infinito” no garantizará la victoria en la competencia.

A los humanos les tomó muchos miles de años darse cuenta de esto y verterlo en una teoría limpia. Solo a fines del siglo XIX surgió un concepto matemático de infinito. La base para esto se establece Matemático Georg Cantor (1845-1918) Cuando pensaba en las cantidades y su tamaño. Por ejemplo, {1,2,3,4} y {x, y, z, q} tienen cada uno cuatro elementos y, por lo tanto, son de magnitud 4, a lo que los expertos se refieren como “número 4”.

Por otro lado, los números naturales {0, 1, 2, 3, …} tienen infinitos elementos: uno de ellos se puede sumar a cada número natural; El resultado es un número natural de nuevo. Si ahora observa el conjunto de todos los números pares {0, 2, 4, …}, asumirá que es solo la mitad de grande; después de todo, solo contiene uno de cada dos números naturales. Pero Cantor se dio cuenta de que ambos conjuntos (los números naturales y pares) tienen la misma relación fundamental.

Hay tantos números naturales como números pares

Llegó a esta sorprendente conclusión cuando comparó elementos en ambos grupos. Si quieres saber si el grupo A (como las personas en una parada de autobús) tiene exactamente el mismo tamaño que otro grupo B (los asientos libres en el autobús), puedes asignar un elemento de B a cada elemento de A: ya sabes el asiento de cada persona. Si quedan personas al final para estar de pie, A es mayor que B; Por otro lado, si hay espacios vacíos, B debe ser mayor que A. Sin embargo, si puede asignar exactamente un asiento por persona, ambos grupos tienen exactamente el mismo tamaño y, por lo tanto, tienen la misma relación básica. De esta forma, Cantor también estudió la relación fundamental de los conjuntos infinitos. por ejemplo, números naturales e pares: puede asignar cada número natural a exactamente un número par, por ejemplo, utilizando los pares (0,0), (1,2), (2,4), (3,6), … , ( norte, 2 norte ) Formularios. El número funciona perfectamente: al final no quedan números naturales ni pares. Por lo tanto, ambos conjuntos contienen el mismo número de elementos.

Aquí está surgiendo una lección importante: cuando se trata de infinitos, no confíe en su instinto. De hecho, uno siempre encuentra resultados inesperados en este campo.

Resulta que la relación cardinal de los números naturales y pares no es la misma. El truco del mapeo entre dos grupos también se puede aplicar a otros ejemplos. Entonces, los números impares tienen el mismo tamaño que los números naturales, al igual que los números enteros (que incluyen valores negativos) y el conjunto de todos los números primos, e incluso los números racionales (que incluyen fracciones) tienen la misma cantidad de elementos. Cada uno de estos grupos tiene un mapeo que asigna de forma única un número natural {1, 2, 3, …} a cada elemento. Esto significa que es posible, al menos en teoría, numerar los elementos de estas colecciones (si uno tuviera tiempo y ocio ilimitados). El infinito más pequeño debe su nombre a este hecho: la relación cardinal de los números naturales se llama “infinito numerable” y se define por ℵ ₀ Mostrado. Entonces, en lugar de simplemente responder “infinito” en una prueba de números grandes, puede usar ℵ ₀ (pronunciado: Elif Safar) aclaración.

Los grupos presentados hasta ahora tienen la misma relación. Pero los números reales rompen este patrón. Si, además de los números racionales, también permites valores irracionales como la raíz cuadrada de menos dos, pi o constante de Chaitin Luego, la colección de repente se vuelve tan grande que ya no puede enumerar sus elementos, incluso si la lista es infinitamente larga. La razón de esto es una propiedad importante de los números reales: siempre hay otro número real entre dos números. Así que puedes pensar en el conjunto como una recta numérica continua. Por muy cerca que estén dos puntos, entre ellos hay otro punto que es un número real. Esta continuidad impide la inclusión de números reales.

El infinito de los números reales es mayor que los naturales

Cantor pudo probar este hecho con su segundo “argumento diagonal”. Esta es una prueba por contradicción: se comienza con la suposición de que hay un número infinito de números reales y se deriva de eso una afirmación contradictoria. De acuerdo con las leyes de la lógica, se sigue que la proposición subyacente (“Hay un número infinito de números reales”) debe ser falsa.

Para el argumento de la diagonal, ni siquiera hay que tener en cuenta los números reales enteros, basta con suponer que todos los valores reales entre cero y uno son contables (lo que resultaría ser erróneo). En consecuencia, uno puede escribir todos estos valores uno debajo del otro en una lista infinitamente larga, por ejemplo:

0.32476834567854765 …
0.84737834527845745 …
0.78347864586745768 …
0.78347863763547879 …
…

No importa cómo esté ordenada la lista. Lo único que importa es que esté completo. Debe contener cualquier número real entre cero y uno. Sin embargo, Cantor generó otro número entre cero y un número que no aparece en la lista. Así es como funciona: el primer decimal del nuevo número corresponde al primer decimal del primer número de la lista más uno, que es cuatro en el ejemplo anterior. El segundo decimal se obtiene tomando el segundo decimal del número dos más uno, que es cinco. Para el tercero, aumentas el tercer lugar decimal del tercer número en uno y así sucesivamente. Esto da como resultado un número irracional con un número infinito de lugares decimales que no aparece en la lista porque siempre es diferente de cada número enumerado por al menos un dígito. Esto significa que la lista no puede estar completa, lo que contradice la suposición original. Así, Cantor pudo deducir que hay un “número incontable” de números reales.

Suposición indemostrable

Además del ℵ original ₀ De los números naturales hay (al menos) un infinito mayor (incontable). Así que esta sería una mejor opción que ℵ ₀ en la competencia de grandes números. Pero, ¿qué tan grande es el conjunto de números reales? Cantor se preguntó lo mismo al examinar si esta es la siguiente relación cardinal después de ℵ ₀ Comportamiento. Di: ¿Hay un conjunto mayor que los números naturales pero menor que los números reales? Como el matemático no pudo encontrar tal conjunto, formuló la famosa “hipótesis de continuidad” en 1878. No existe ningún conjunto cuyo origen esté entre los números naturales y los números reales. Sin embargo, no pudo probar su suposición.

Tampoco nadie más.Resulta que la hipótesis del continuo es una de esas afirmaciones que eluden nuestro marco matemático. demostrable no demostrable: no se puede probar o refutar una conjetura por los medios matemáticos habituales. Kurt Gödel demostró en 1931 que existen tales deficiencias en cada formulación significativa de las matemáticas.

Es decir, se podría suponer que la hipótesis de continuidad es verdadera y nunca encontraría una contradicción. A la inversa, también se podría suponer que hay más infinitos entre la relación cardinal de los números naturales y los números reales, y tendrían los mismos problemas. Esto no es particularmente satisfactorio para los matemáticos. Después de todo, se trata de la magnitud de los números reales: nadie sabe cuántos de estos valores hay. Como tal, algunas personas buscan ampliar el esqueleto del tema para derivar de esta teoría más amplia la posible herramienta para probar o refutar la hipótesis del continuo.

Sin embargo, los expertos de ninguna manera están de acuerdo con este enfoque. La base de las matemáticas, el “teorema del grupo de Zermelo y Frenkel”, consta de nueve enunciados básicos no probados (los llamados axiomas), de los que se deriva todo el tema. Fueron necesarios varios intentos para encontrar un conjunto adecuado de axiomas para la tarea. Porque los axiomas deben satisfacer varias propiedades: deben ser el menor número posible, deben ser intuitivamente correctos y no demasiado complejos. Un ejemplo de esto es el axioma del conjunto vacío, que establece que existe un conjunto sin elementos (el conjunto vacío). o el axioma conjunto de un par, según el cual dos conjuntos de los mismos elementos son iguales.

Los nueve axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankl (junto con el axioma de elección) son suficientes para construir las matemáticas que conocemos. Pero la hipótesis de la continuidad está lejos de ellos. Para examinar con mayor precisión la relación fundamental de los números reales, se debe ampliar la teoría de grupos existente para incluir datos más fundamentales. Por ejemplo, puede agregar la declaración “La hipótesis de continuidad es verdadera” a la oración actual. Sin embargo, este no sería un buen axioma: a diferencia de otros, no queda inmediatamente claro por qué la declaración debe ser verdadera.

Por lo tanto, los profesionales buscan otros axiomas que sean intuitivamente válidos y puedan usarse para probar la hipótesis de continuidad. Realmente hay algunos candidatos prometedores: algunos podrían confirmar las sospechas de Cantor, mientras que otros podrían refutarlas. Queda por ver qué versión extendida de la teoría de conjuntos (si es que alguna) prevalecerá. Y durante mucho tiempo, la pregunta de cuántos números reales hay permanece sin respuesta. Si bien esto sigue siendo un misterio, se sabe desde hace mucho tiempo que hay grupos que son mucho más grandes que los números reales y, por lo tanto, mejores candidatos para ganar el juego de los grandes números. Puede obtener más información sobre esto en la siguiente columna.